ધારો કે $f(x) = -1 + |x - 2|$ અને $g(x) = 1 - |x|$ છે. તો $fog$ જ્યાં અસતત હોય તેવા તમામ બિંદુઓનો ગણ કયો છે?

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $R^{+}$ એ તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. $R$ ના ઉપગણો $A$ અને $B$ માટે, $f: A \rightarrow B$ ને $f(x) = x^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો, જ્યાં $x \in A$. નીચે આપેલી યાદીઓને જોડો:
| સ્તંભ $I$ | સ્તંભ $II$ |
| :--- | :--- |
| $A$. $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે, જો | $1$. $A = R^{+}, B = R$ |
| $B$. $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી, જો | $2$. $A = B = R$ |
| $C$. $f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી, જો | $3$. $A = R, B = R^{+}$ |
| $D$. $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી, જો | $4$. $A = B = R^{+}$ |

જો $h(x) = [\ln(x/e)] + [\ln(e/x)]$,જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન અસત્ય છે?

ધારો કે $f(x) = Ax^3 - Bx - \tan x \cdot \text{sgn}(x)$ એ એક યુગ્મ વિધેય છે $\forall x \in R - \left\{ (2n + 1)\frac{\pi}{2}, n \in I \right\}$,જ્યાં $A = \sin^2 \alpha - \sin \alpha + \frac{1}{4}$ અને $B = \tan^2 \alpha + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan \alpha + \frac{1}{3}$. તો $\left[ -\frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]$ માં $\alpha$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા શોધો (જ્યાં $\text{sgn}(x)$ એ $x$ નું સિગ્નમ વિધેય દર્શાવે છે).

જો $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}, x \in(-10,10)$ અને $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ હોય, તો $k$ ની કિંમત શોધો.

List-$I$ ની વસ્તુઓને List-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો:

List-$I$	List-$II$
$A$. $\sec ^{-1}\left[1+\cos ^2 x\right]$ નો વિસ્તાર, જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે	$I$. અયુગ્મ વિધેય
$B$. $f(x)$ નો પ્રદેશ જ્યાં $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}$	$II$. $\left\{0, \frac{1}{2}\right\}$
$C$. $f(x+y)=f(x)+f(y) ; f(1)=5$	$III$. $\left\{\sec ^{-1} 5, \sec ^{-1} 4\right\}$
$D$. $\sin ^{-1} x-\cos ^{-1} x+\sin ^{-1}(1-x)=0 \Rightarrow x \in$	$IV$. $R$
	$V$. $\left\{\sec ^{-1} 1, \sec ^{-1} 2\right\}$